Body-Fixed and Space-Fixed Rotation Matrices

前言

旋轉矩陣 (Rotation Matrix) 在科學與工程領域中無處不在，從機器人手臂的運動控制、航太衛星的姿態描述，到電腦視覺中的攝影機定位，旋轉矩陣是描述空間方向最核心的數學工具。

然而，我在閱讀文獻時會有一些疑惑：為什麼同樣是繞著 $x, y, z$ 三個軸旋轉，在不同的文獻中，矩陣相乘的順序有時是由左往右 ($R_x R_y R_z$)，有時卻是由右往左 ($R_z R_y R_x$)？最後終於搞明白，不同的關鍵在於我們觀測旋轉時所採用的參考坐標系 (Reference Frame) 不同。

本篇文章將從簡單的 2D 旋轉出發，逐步推導至 3D 空間，並深入剖析兩種不同的旋轉描述方式

• Body-Fixed Rotation：繞著物體自身的動態軸旋轉。
• Space-Fixed Rotation：繞著固定的世界坐標軸旋轉。

主動旋轉與被動旋轉

往往導致困惑的地方就是「誰在旋轉」，因此需要先釐清：

• 主動旋轉 (Active Rotation)：坐標軸不動，物體在固定的坐標系中相對於原點做旋轉 (軸不動，物體動)。
  逆時針主動旋轉 (Active Rotation)
• 被動旋轉 (Passive Rotation)：物體不動，取而代之的是旋轉坐標軸 (軸動，物體不動)。
  順時針被動旋轉 (Passive Rotation)

在進行旋轉運算時，必須確定當前的情境。逆時針主動旋轉 $\theta$ 的效果，在數學上等同於順時針被動旋轉 $\theta$ 的效果。若沒有釐清這點，最終旋轉矩陣的角度將會差一個負號。

2D 旋轉矩陣

逆時針主動旋轉與順時針被動旋轉

逆時針主動旋轉 (左圖) 與順時針被動旋轉 (右圖)

「逆時針主動旋轉」等同於「順時針被動旋轉」，因此我們只看其中一種即可，以下以「逆時針主動旋轉」為例。

令 $\overline{OP}$ 長度為 $r$ 且與 $x$ 軸的夾角為 $\alpha$、點 $P$ 的坐標為 $(x, y)$、點 $P'$ 的坐標為 $(x', y')$，則

$$x = r \cos\alpha$$ $$y = r \sin\alpha$$ $$x' = r \cos(\alpha + \theta) = r(\cos\alpha \cos\theta - \sin\alpha \sin\theta) = x\cos\theta - y\sin\theta$$ $$y' = r \sin(\alpha + \theta) = r(\sin\alpha \cos\theta + \cos\alpha \sin\theta) = y\cos\theta + x\sin\theta$$ $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$

順時針主動旋轉與逆時針被動旋轉

順時針主動旋轉 (左圖) 與逆時針被動旋轉 (右圖)

「順時針主動旋轉」等同於「逆時針被動旋轉」，因此我們只看其中一種即可，以下以「順時針主動旋轉」為例。

令 $\overline{OP}$ 長度為 $r$ 且與 $x$ 軸的夾角為 $\alpha$、點 $P$ 的坐標為 $(x, y)$、點 $P'$ 的坐標為 $(x', y')$，則

$$x = r \cos\alpha$$ $$y = r \sin\alpha$$ $$x' = r \cos(\alpha - \theta) = r(\cos\alpha \cos\theta + \sin\alpha \sin\theta) = x\cos\theta + y\sin\theta$$ $$y' = r \sin(\alpha - \theta) = r(\sin\alpha \cos\theta - \cos\alpha \sin\theta) = y\cos\theta - x\sin\theta$$ $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$

3D 旋轉矩陣

任何 3D 的旋轉都可以分解為繞著三個正交軸的旋轉，以下將先探討固定單一軸的逆時針被動旋轉矩陣，再帶出 Body frame 與 Space frame 的概念，最後完成 Body-Fixed 與 Space-Fixed 旋轉矩陣的推導。

固定 $x$ 軸的旋轉矩陣 $R_x$

固定 $x$ 軸的逆時針被動旋轉

固定 $x$ 軸再根據右手定則逆時針旋轉，是從 $y$ 軸轉到 $z$ 軸，套用公式得到

$$\begin{bmatrix} y' \\ z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta_x & \sin\theta_x \\ -\sin\theta_x & \cos\theta_x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y \\ z \end{bmatrix}$$

且 $x$ 軸不動，因此

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta_x & \sin\theta_x \\ 0 & -\sin\theta_x & \cos\theta_x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = R_x(\theta_x) \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$$

固定 $y$ 軸的旋轉矩陣 $R_y$

固定 $y$ 軸的逆時針被動旋轉

固定 $y$ 軸再根據右手定則逆時針旋轉，是從 $z$ 軸轉到 $x$ 軸，套用公式得到

$$\begin{bmatrix} z' \\ x' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta_y & \sin\theta_y \\ -\sin\theta_y & \cos\theta_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z \\ x \end{bmatrix}$$

且 $y$ 軸不動，因此

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta_y & 0 & -\sin\theta_y \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\theta_y & 0 & \cos\theta_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = R_y(\theta_y) \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$$

固定 $z$ 軸的旋轉矩陣 $R_z$

固定 $z$ 軸的逆時針被動旋轉

固定 $z$ 軸再根據右手定則逆時針旋轉，是從 $x$ 軸轉到 $y$ 軸，套用公式得到

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta_z & \sin\theta_z \\ -\sin\theta_z & \cos\theta_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$

且 $z$ 軸不動，因此

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta_z & \sin\theta_z & 0 \\ -\sin\theta_z & \cos\theta_z & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = R_z(\theta_z) \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$$

Body frame 與 Space frame

Body frame (物體座標系) 與 Space frame (空間座標系) 是兩種定義參考座標系的方式，本質上是在選擇「觀察視角」。

Body frame 扮演的是「物體本身」的視角，它緊貼於物體並隨之旋轉。從物體自身的觀點來看，它永遠處於座標原點，所有的運動都是外部環境相對其位置與姿態的改變。

相對而言，Space frame 則是「旁觀者」的角色，它如同固定在地面上的觀測站，提供了一個絕對且靜止的基準，用以記錄物體在空間中的絕對軌跡。

這種視角切換，決定了我們如何透過數學描述旋轉。

Body-Fixed 旋轉矩陣

Body-Fixed 旋轉是指每一次旋轉都是以「上一次旋轉後的新軸」(也就是 Body frame) 為基準來旋轉。接下來，將推導依序繞 Body frame 的 $x, y, z$ 軸旋轉的旋轉矩陣

首先，對 Body frame 的 $x$ 軸旋轉 $\theta_x$

$$R_x(\theta_x) \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$$

再對 Body frame 的 $y$ 軸旋轉 $\theta_y$

$$R_y(\theta_y) R_x(\theta_x) \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$$

最後對 Body frame 的 $z$ 軸旋轉 $\theta_z$

$$R_z(\theta_z) R_y(\theta_y) R_x(\theta_x) \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$$

得到總旋轉矩陣為

$$R(\theta_x, \theta_y, \theta_z) = R_z(\theta_z) R_y(\theta_y) R_x(\theta_x)$$

Space-Fixed 旋轉矩陣

Space-Fixed 旋轉是指每一次旋轉都是以固定不動的 Space frame 為基準來旋轉。接下來，將推導依序繞 Space frame 的 $x, y, z$ 軸旋轉的旋轉矩陣

首先，對 Space frame 的 $x$ 軸旋轉 $\theta_x$

$$R_x(\theta_x) \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$$

我們接下來想要對 Space frame 的 $y$ 軸進行旋轉，所以必須使用 Change of Basis 將經過 $R_x(\theta_x)$ 旋轉後的坐標系轉換回 Space frame

$$R_x^{-1}(\theta_x) R_x(\theta_x) \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$$

再對 Space frame 的 $y$ 軸進行旋轉

$$R_y(\theta_y) R_x^{-1}(\theta_x) R_x(\theta_x) \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$$

再使用 Change of Basis 將坐標轉換回原本的座標系

$$R_x(\theta_x) R_y(\theta_y) R_x^{-1}(\theta_x) R_x(\theta_x) \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = R_x(\theta_x) R_y(\theta_y) \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$$

最後是對 Space frame 的 $z$ 軸旋轉 $\theta_z$。同理，先使用 Change of Basis 將經過 $R_x(\theta_x) R_y(\theta_y)$ 旋轉後的坐標系轉換回 Space frame

$$(R_x(\theta_x) R_y(\theta_y))^{-1} (R_x(\theta_x) R_y(\theta_y)) \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$$

再對 Space frame 的 $z$ 軸旋轉 $\theta_z$

$$R_z(\theta_z) (R_x(\theta_x) R_y(\theta_y))^{-1} (R_x(\theta_x) R_y(\theta_y)) \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$$

再使用 Change of Basis 將坐標轉換回原本的座標系

$$(R_x(\theta_x) R_y(\theta_y)) R_z(\theta_z) (R_x(\theta_x) R_y(\theta_y))^{-1} (R_x(\theta_x) R_y(\theta_y)) \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = R_x(\theta_x) R_y(\theta_y) R_z(\theta_z) \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$$

得到總旋轉矩陣為

$$R(\theta_x, \theta_y, \theta_z) = R_x(\theta_x) R_y(\theta_y) R_z(\theta_z)$$

總結

Body-Fixed 旋轉的概念相當直觀，每次旋轉都建立在物體當前的區域座標系上，只要依序乘上對應的旋轉矩陣即可；而 Space-Fixed 旋轉則始終固定在全域座標系中，每次旋轉都必須藉助 Change of Basis 將旋轉軸轉換回最初的基準坐標系來進行推導。

儘管兩者的物理意義與推導過程截然不同，但神奇的是，若從最終的數學式子來看：Space-Fixed 依序繞 $x, y, z$ 軸旋轉的效果，完全等價於 Body-Fixed 以相反順序依序繞 $z, y, x$ 軸旋轉的結果。這種殊途同歸的幾何對稱性，或許正是數學最令人著迷、也是最酷的地方！