優雅的單位轉換公式與推導

前言

單位轉換是多數系統中會碰到的課題，單純兩個單位之間的轉換還算容易，而多個單位的轉換就有點困難。以「速度」來說，在 m/s, mph 與 km/h 等數種單位之間互相轉換，排列組合就多達九種以上；而「貨幣」幾乎是每一個國家一種單位，需要在更多單位之間做轉換。如何寫出易於維護可擴展的單位轉換程式碼是非常重要的，這篇文章帶領讀者從數學角度出發，一步步推導出單位轉換公式並將其化為最簡。

直接的做法

以「速度」為例，m/s, mph 與 km/h 三個單位若需要互相轉換，最直接且暴力的做法是建立一個表記錄下每個單位之間的轉換因子，轉換時只需將原本的值乘以轉換因子 (factor)，即可得到進行單位轉換後的數值

const unitFactors = {
    'm/s': {
        'm/s': 1,
        'mph': 2.23693629,
        'km/h': 3.6,
    }, 
    'mph': {
        'm/s': 0.44704,
        'mph': 1,
        'km/h': 1.609344,
    },
    'km/h': {
        'm/s': 0.277777778,
        'mph': 0.621371192,
        'km/h': 1,
    },
}

function unitConvert(value, from, to) {
    return value * unitFactors[from][to]
}

console.log(unitConvert(1, 'km/h', 'mph')) // 0.621371192

缺點

很多重複的資料：例如 unitFactors['m/s']['mph'] 其實就等於 1/unitFactors['mph']['m/s']。

難以擴增：若要增加一個單位例如 ft/s，就要大幅改動轉換因子表如下所示，造成開發者的負擔

const unitFactors = {
    'm/s': {
        ..., // (ellipsis)
        'ft/s': 3.28084,
    }, 
    'mph': {
        ..., // (ellipsis)
        'ft/s': 1.466667,
    },
    'km/h': {
        ..., // (ellipsis)
        'ft/s': 0.911344,
    },
    'ft/s': {
        'm/s': 0.3048,
        'mph': 0.681818,
        'km/h': 1.09728,
        'ft/s': 1,
    }
}

推導單位轉換公式

為了避免之後要償還技術債，不如現在就將單位轉換過程進行簡化。簡化的方式有很多種，這裡會透過數學推導來得到好用的單位轉換公式。

參數說明：

$v_1$：現在的值。
$u_1$：現在的單位。
$v_2$：單位轉換後的值。
$u_2$：轉換後的單位。
$f_{12}$：單位由 $u_1$ 轉換為 $u_2$ 時，所需乘的轉換因子。
$u_0$：基底單位。
$f_{01}$：單位由 $u_0$ 轉換為 $u_1$ 時，所需乘的轉換因子。
$f_{02}$：單位由 $u_0$ 轉換為 $u_2$ 時，所需乘的轉換因子。

可列出方程式

$v_1 \cdot u_1 = v_2 \cdot u_2$

我們的目標就是算出 $v_2$

$v_2 = v_1 \cdot \frac{u_1}{u_2} = v_1 \cdot f_{12}$

這時我們知道單位轉換的公式為 $v_1$ 乘以 $u_1/u_2$，將分數部分上下同除一個基底單位 $u_0$

$f_{12} = \frac{u_1}{u_2} = \frac{u_1/u_0}{u_2/u_0}=\frac{u_0/u_2}{u_0/u_1} = \frac{f_{02}}{f_{01}}$

$u_0$ 用來作為轉換的一個中間單位，它可以是任何單位如 m/s, mph 或 km/h，接下來將會演示如何使用此公式

$v_2 = v_1 \cdot \frac{f_{02}}{f_{01}}$

使用公式實作單位轉換

這裡選定 m/s 基底單位 $u_0$，先建立以 m/s 為基底單位的轉換因子表

const unitFactors = {
    'm/s': 1,
    'mph': 2.23693629,
    'km/h': 3.6,
}

最後實作單位轉換函數 $v_2 = v_1 \cdot f_{02}/f_{01}$

function unitConvert(value, from, to) {
    // v1 * (f02 / f01)
    return value * (unitFactors[to]/unitFactors[from])
}

console.log(unitConvert(1, 'km/h', 'mph')) // 0.6213711916666667

問題的改善

沒有重複的資料：重複的資料已經隱含在 $1/f_{01}$ 之中，因此不需要再多記倒數後的結果。
容易擴充的轉換因子表：若要多加一個單位例如 ft/s，只需增加一行
1
2
3
4
const unitFactors = {
..., // (ellipsis)
'ft/s': 3.28084,
}